考點二、分段函數(shù)的奇偶性

解析：分別討論每一個區(qū)間與其對稱區(qū)間上的對稱性，是否符合奇偶性的定義．

例1、判斷下列函數(shù)的奇偶性：

分析：先驗證函數(shù)定義域的對稱性，再考察

綜上可知，

例2、判斷函數(shù))的奇偶性．

     思路點撥：分x＞0或x＜0兩種情況計算f(－x)，然后再判斷f(－x)與f(x)的關(guān)系．

     解：函數(shù)f(x)的定義域是(－∞，0)∪(0，＋∞)，關(guān)于原點對稱．

①當x＞0時，－x＜0，

 則f(－x)＝(－x)³＋3(－x)²－1＝－x³＋3x²－1＝－(x³－3x²＋1)＝－f(x)．

②當x＜0時，－x＞0，

則f(－x)＝(－x)³－3(－x)²＋1＝－x³－3x²＋1

＝－(x³＋3x²－1)＝－f(x)．

由①②知，當x∈(－∞，0)∪(0，＋∞)時，

都有f(－x)＝－f(x)，所以f(x)為奇函數(shù)．

【名師點撥】　分段函數(shù)的奇偶性應(yīng)分段證明f(－x)與f(x)的關(guān)系，只有當對稱的兩段上都滿足相同的關(guān)系時，才能判斷其奇偶性．也可根據(jù)圖象判定．

解：當x＞0時，f(x)＝x³－3x²＋1，－x＜0，f(－x)＝－(－x)³－3(－x)²＋1＝x³－3x²＋1＝f(x)．

    當x＜0時，f(x)＝－x³－3x²＋1.－x＞0，f(－x)＝(－x)³－3(－x)²＋1＝－x³－3x²＋1＝f(x)．

    綜上可得f(－x)＝f(x)

    ∴f(x)為偶函數(shù)．